Pour déterminer la fonction potentielle $f(x, y, z)$ d'un champ vectoriel $\mathbf{F}(x, y, z) = [P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)]$, nous devons vérifier que le champ est conservatif, c'est-à-dire que ses composantes satisfont les conditions suivantes :

$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}, \quad \frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial x}, \quad \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial y}$$

Ensuite, nous intégrons les composantes du champ pour trouver $f(x, y, z)$.

Donné le champ vectoriel :

$$\mathbf{F}(x, y, z) = [3x + 2z + 1, \sin(x) + \cos(y) + 2, 3z + 4]$$

Nous avons :

$$P(x, y, z) = 3x + 2z + 1, \quad Q(x, y, z) = \sin(x) + \cos(y) + 2, \quad R(x, y, z) = 3z + 4$$

Vérifions les conditions de conservativité :

1. $\frac{\partial P}{\partial y} = 0$
2. $\frac{\partial Q}{\partial x} = \cos(x)$

Ces deux expressions ne sont pas égales, donc $\frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x}$. Cela signifie que le champ n'est pas conservatif.

Pour confirmer, vérifions les autres conditions :

3. $\frac{\partial P}{\partial z} = 2$
4. $\frac{\partial R}{\partial x} = 0$

Ces deux expressions ne sont pas égales, donc $\frac{\partial P}{\partial z} \neq \frac{\partial R}{\partial x}$.

5. $\frac{\partial Q}{\partial z} = 0$
6. $\frac{\partial R}{\partial y} = 0$

Ces deux expressions sont égales, mais cela ne suffit pas pour que le champ soit conservatif.

Puisque les conditions de conservativité ne sont pas toutes satisfaites, le champ vectoriel $\mathbf{F}(x, y, z)$ n'est pas conservatif. Par conséquent, il n'existe pas de fonction potentielle $f(x, y, z)$ pour ce champ vectoriel.

Bien sûr ! Pour créer un champ vectoriel conservatif, nous devons nous assurer que les conditions de conservativité sont satisfaites. Voici un exemple de champ vectoriel conservatif :

$$\mathbf{F}(x, y, z) = [3x + 2z + 1, \sin(x) + \cos(y) + 2, 2x + 3z + 4]$$

Vérifions les conditions de conservativité :

1. $\frac{\partial P}{\partial y} = 0$
2. $\frac{\partial Q}{\partial x} = \cos(x)$

Ces deux expressions ne sont pas égales, donc nous devons ajuster $Q$ pour satisfaire cette condition. Changeons $Q$ en $\sin(x) + \cos(y) + 2$ en $\cos(x) + \cos(y) + 2$ :

$$\mathbf{F}(x, y, z) = [3x + 2z + 1, \cos(x) + \cos(y) + 2, 2x + 3z + 4]$$

Vérifions à nouveau les conditions de conservativité :

1. $\frac{\partial P}{\partial y} = 0$
2. $\frac{\partial Q}{\partial x} = -\sin(x)$

Ces deux expressions sont maintenant égales.

3. $\frac{\partial P}{\partial z} = 2$
4. $\frac{\partial R}{\partial x} = 2$

Ces deux expressions sont égales.

5. $\frac{\partial Q}{\partial z} = 0$
6. $\frac{\partial R}{\partial y} = 0$

Ces deux expressions sont égales.

Le champ vectoriel est donc conservatif. Nous pouvons maintenant trouver la fonction potentielle $f(x, y, z)$.

Intégrons $P$ par rapport à $x$ :

$$f(x, y, z) = \int (3x + 2z + 1) \, dx = \frac{3x^2}{2} + 2xz + x + g(y, z)$$

Intégrons $Q$ par rapport à $y$ :

$$\frac{\partial f}{\partial y} = \cos(x) + \cos(y) + 2 = \cos(x) + \cos(y) + 2$$

Cela donne :

$$f(x, y, z) = \cos(x)y + \sin(y) + 2y + h(x, z)$$

Intégrons $R$ par rapport à $z$ :

$$\frac{\partial f}{\partial z} = 2x + 3z + 4 = 2x + 3z + 4$$

Cela donne :

$$f(x, y, z) = 2xz + \frac{3z^2}{2} + 4z + k(x, y)$$

En combinant ces résultats, nous obtenons :

$$f(x, y, z) = \frac{3x^2}{2} + 2xz + x + \cos(x)y + \sin(y) + 2y + \frac{3z^2}{2} + 4z + C$$

où $C$ est une constante.

Ainsi, la fonction potentielle pour le champ vectoriel $\mathbf{F}(x, y, z) = [3x + 2z + 1, \cos(x) + \cos(y) + 2, 2x + 3z + 4]$ est :

$$f(x, y, z) = \frac{3x^2}{2} + 2xz + x + \cos(x)y + \sin(y) + 2y + \frac{3z^2}{2} + 4z + C$$