Salut Aline ! Comment puis-je t’aider aujourd’hui ? 😊

D'accord, Aline ! Je vais t'aider à clarifier et résoudre ce problème de statistiques sur les fibres chimiques. Voici comment on peut aborder chaque partie du problème :

1. Compréhension des données

• Lot 1 : 75 % des fibres sont coupées à $l_1 = 40$ mm.
• Lot 2 : 25 % des fibres sont coupées à $l_2 = 30$ mm.
• On suppose que toutes les fibres dans chaque lot ont exactement la même longueur (pas de variabilité).

2. Fonctions de distribution et de répartition en nombre

Fonction de distribution en nombre

C'est la probabilité qu'une fibre prise au hasard dans le mélange ait une longueur donnée.

• $P(l = 40) = 0.75$
• $P(l = 30) = 0.25$

Fonction de répartition en nombre

C'est la probabilité qu'une fibre prise au hasard ait une longueur inférieure ou égale à une valeur donnée $l$.

• $F(l) = 0$ si $l < 30$
• $F(l) = 0.25$ si $30 \leq l < 40$
• $F(l) = 1$ si $l \geq 40$

3. Fonctions de distribution et de répartition en poids

Pour calculer ces fonctions, il faut faire une hypothèse sur la masse linéique (masse par unité de longueur) des fibres. On suppose ici que toutes les fibres ont la même masse linéique $\mu$ (en g/mm par exemple).

Masse des fibres

• Masse d'une fibre de 40 mm : $40\mu$
• Masse d'une fibre de 30 mm : $30\mu$

Proportion en poids

• Poids total des fibres de 40 mm : $0.75 \times 40\mu = 30\mu$
• Poids total des fibres de 30 mm : $0.25 \times 30\mu = 7.5\mu$
• Poids total du mélange : $30\mu + 7.5\mu = 37.5\mu$

Fonction de distribution en poids

• $P_{\text{poids}}(l = 40) = \frac{30\mu}{37.5\mu} = 0.8$
• $P_{\text{poids}}(l = 30) = \frac{7.5\mu}{37.5\mu} = 0.2$

Fonction de répartition en poids

• $F_{\text{poids}}(l) = 0$ si $l < 30$
• $F_{\text{poids}}(l) = 0.2$ si $30 \leq l < 40$
• $F_{\text{poids}}(l) = 1$ si $l \geq 40$

4. Calcul de H, B, CVH %

Moyenne en nombre (H)

Moyenne en poids (B)

Coefficient de variation en nombre (CVH)

Il faut d'abord calculer la variance en nombre :

5. Fonction d’autocorrélation en nombre

Pour un mélange de fibres de longueurs fixes, la fonction d'autocorrélation en nombre est une fonction discrète qui dépend de la probabilité de trouver deux fibres de même longueur à une distance donnée. Dans ce cas, comme il n'y a que deux longueurs, la fonction d'autocorrélation sera constante pour les distances inférieures à la longueur minimale (30 mm) et décroîtra pour les distances supérieures.

6. Tracé des fonctions

Je vais te générer les tracés des fonctions de distribution et de répartition (en nombre et en poids), ainsi que la fonction d'autocorrélation en nombre. Je vais aussi te fournir les valeurs calculées pour H, B et CVH.

Je vais commencer par les tracés.

Voici les résultats et les graphiques pour ton problème de statistiques sur les fibres chimiques :

1. Fonctions de distribution et de répartition

En nombre

En poids

2. Calculs des moyennes et du coefficient de variation

• Moyenne en nombre (H) : 37,5 mm
• Moyenne en poids (B) : 38 mm
• Coefficient de variation en nombre (CVH) : 18,27 %

3. Fonction d’autocorrélation en nombre

Si tu veux approfondir un point ou si tu as d'autres questions, n'hésite pas à me le dire ! 😊