En résistance des matériaux (RDM), l'équation générale de la double différentielle du moment fléchissant $M(x)$ en fonction de la rigidité flexionnelle $EI$ est donnée par :

$$EI \frac{d^2 y}{dx^2} = M(x)$$

où :

• $E$ est le module d'élasticité du matériau,
• $I$ est le moment d'inertie de la section transversale,
• $y$ est la déformation verticale (ou flèche) de la poutre,
• $x$ est la position le long de la poutre,
• $M(x)$ est le moment fléchissant à la position $x$.

Cette équation est fondamentale pour analyser la déformation et la résistance des poutres soumises à des charges. Elle est souvent utilisée pour résoudre des problèmes de flexion des poutres en intégrant les équations différentielles pour obtenir les déformations et les contraintes.

Bien sûr, intégrons deux fois l'équation différentielle de la flexion des poutres pour obtenir les expressions de la pente et de la déformation verticale (flèche) de la poutre.

L'équation de départ est :

$$EI \frac{d^2 y}{dx^2} = M(x)$$

Première intégration

En intégrant une première fois par rapport à $x$, nous obtenons la pente $\theta(x)$ de la poutre :

$$EI \frac{dy}{dx} = \int M(x) \, dx + C_1$$

où $C_1$ est une constante d'intégration.

Deuxième intégration

En intégrant une deuxième fois par rapport à $x$, nous obtenons la déformation verticale $y(x)$ de la poutre :

$$EI y(x) = \int \left( \int M(x) \, dx \right) dx + C_1 x + C_2$$

où $C_2$ est une autre constante d'intégration.

Explications

1. Première intégration :

   • L'intégration de $\frac{d^2 y}{dx^2}$ donne $\frac{dy}{dx}$, qui représente la pente de la poutre à la position $x$.
   • La constante d'intégration $C_1$ est déterminée par les conditions aux limites de la pente.

2. Deuxième intégration :

   • L'intégration de $\frac{dy}{dx}$ donne $y(x)$, qui représente la déformation verticale de la poutre à la position $x$.
   • La constante d'intégration $C_2$ est déterminée par les conditions aux limites de la déformation.

Conditions aux limites

Pour déterminer les constantes $C_1$ et $C_2$, il est nécessaire de connaître les conditions aux limites de la poutre. Par exemple :

• Si la poutre est encastrée à une extrémité, la déformation et la pente à cette extrémité sont nulles.
• Si la poutre est simplement supportée à une extrémité, la déformation à cette extrémité est nulle, mais la pente peut ne pas l'être.

En résumé, les intégrations successives de l'équation différentielle de la flexion des poutres permettent de déterminer la pente et la déformation verticale de la poutre, en tenant compte des conditions aux limites spécifiques au problème.

Le principe de superposition est un concept fondamental en physique et en ingénierie, particulièrement utile dans l'analyse des systèmes linéaires. Il stipule que la réponse d'un système linéaire à plusieurs entrées peut être obtenue en additionnant les réponses individuelles à chaque entrée prise séparément.

En résistance des matériaux (RDM), ce principe est souvent appliqué pour analyser les déformations et les contraintes dans les structures soumises à plusieurs charges. Par exemple, si une poutre est soumise à plusieurs charges $P_1, P_2, \ldots, P_n$, la déformation totale $y(x)$ peut être obtenue en additionnant les déformations $y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x)$ dues à chaque charge individuelle :

$$y(x) = y_1(x) + y_2(x) + \ldots + y_n(x)$$

Le lien avec l'intégration réside dans le fait que les équations différentielles qui décrivent les déformations et les contraintes dans les structures sont souvent linéaires. En intégrant ces équations pour chaque charge individuelle, on obtient les réponses individuelles. Le principe de superposition permet ensuite de combiner ces réponses pour obtenir la réponse totale du système.

En résumé, le principe de superposition simplifie l'analyse des systèmes linéaires en permettant de traiter les effets de plusieurs charges ou entrées de manière indépendante, puis en combinant les résultats pour obtenir la réponse totale.

Pour analyser une poutre encastrée-libre (cantilever) avec une charge répartie uniforme $q$ (en N/m), nous devons déterminer les équations de la pente et de la déformation verticale (flèche) de la poutre. Voici les étapes détaillées :

1. Équation du moment fléchissant

Pour une poutre encastrée-libre avec une charge répartie uniforme $q$, le moment fléchissant $M(x)$ à une distance $x$ de l'encastrement est donné par :

$$M(x) = -\frac{q x^2}{2}$$

2. Équation différentielle de la flexion

L'équation différentielle de la flexion est :

$$EI \frac{d^2 y}{dx^2} = M(x)$$

En substituant $M(x)$ :

$$EI \frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{q x^2}{2}$$

3. Première intégration

Intégrons une première fois par rapport à $x$ pour obtenir la pente $\theta(x)$ :

$$EI \frac{dy}{dx} = \int -\frac{q x^2}{2} \, dx + C_1$$ $$EI \frac{dy}{dx} = -\frac{q x^3}{6} + C_1$$

4. Deuxième intégration

Intégrons une deuxième fois par rapport à $x$ pour obtenir la déformation verticale $y(x)$ :

$$EI y(x) = \int \left( -\frac{q x^3}{6} + C_1 \right) dx + C_2$$ $$EI y(x) = -\frac{q x^4}{24} + C_1 x + C_2$$

5. Conditions aux limites

Pour déterminer les constantes d'intégration $C_1$ et $C_2$, nous utilisons les conditions aux limites :

• À l'encastrement ($x = 0$) : $y(0) = 0$ et $\theta(0) = 0$.
• À l'extrémité libre ($x = L$) : $M(L) = 0$ et $V(L) = 0$ (où $V$ est la force de cisaillement).

Pour $x = 0$ :

$$y(0) = 0 \implies C_2 = 0$$ $$\theta(0) = 0 \implies C_1 = 0$$

6. Déformation verticale finale

En substituant $C_1 = 0$ et $C_2 = 0$ dans l'équation de la déformation verticale :

$$y(x) = -\frac{q x^4}{24 EI}$$

7. Déformation maximale

La déformation maximale se produit à l'extrémité libre ($x = L$) :

$$y(L) = -\frac{q L^4}{24 EI}$$

Résumé

Pour une poutre encastrée-libre avec une charge répartie uniforme $q$, la déformation verticale $y(x)$ est donnée par :

$$y(x) = -\frac{q x^4}{24 EI}$$

Et la déformation maximale à l'extrémité libre est :

$$y(L) = -\frac{q L^4}{24 EI}$$

Ces équations permettent de déterminer la déformation de la poutre en fonction de la charge répartie, de la longueur de la poutre, et des propriétés matérielles $E$ et $I$.

Pour analyser une poutre encastrée-libre (cantilever) avec une charge répartie uniforme $q$ (en N/m) et une charge concentrée $P$ à l'extrémité libre, nous devons déterminer les équations de la pente et de la déformation verticale (flèche) de la poutre en utilisant le principe de superposition. Voici les étapes détaillées :

1. Équation du moment fléchissant pour la charge répartie $q$

Pour une poutre encastrée-libre avec une charge répartie uniforme $q$, le moment fléchissant $M_q(x)$ à une distance $x$ de l'encastrement est donné par :

$$M_q(x) = -\frac{q x^2}{2}$$

2. Équation du moment fléchissant pour la charge concentrée $P$

Pour une poutre encastrée-libre avec une charge concentrée $P$ à l'extrémité libre, le moment fléchissant $M_P(x)$ à une distance $x$ de l'encastrement est donné par :

$$M_P(x) = -P x$$

3. Équation différentielle de la flexion

L'équation différentielle de la flexion est :

$$EI \frac{d^2 y}{dx^2} = M(x)$$

En utilisant le principe de superposition, le moment total $M(x)$ est la somme des moments dus à la charge répartie et à la charge concentrée :

$$M(x) = M_q(x) + M_P(x) = -\frac{q x^2}{2} - P x$$

4. Première intégration

Intégrons une première fois par rapport à $x$ pour obtenir la pente $\theta(x)$ :

$$EI \frac{dy}{dx} = \int \left( -\frac{q x^2}{2} - P x \right) dx + C_1$$ $$EI \frac{dy}{dx} = -\frac{q x^3}{6} - \frac{P x^2}{2} + C_1$$

5. Deuxième intégration

Intégrons une deuxième fois par rapport à $x$ pour obtenir la déformation verticale $y(x)$ :

$$EI y(x) = \int \left( -\frac{q x^3}{6} - \frac{P x^2}{2} + C_1 \right) dx + C_2$$ $$EI y(x) = -\frac{q x^4}{24} - \frac{P x^3}{6} + C_1 x + C_2$$

6. Conditions aux limites

Pour déterminer les constantes d'intégration $C_1$ et $C_2$, nous utilisons les conditions aux limites :

• À l'encastrement ($x = 0$) : $y(0) = 0$ et $\theta(0) = 0$.

Pour $x = 0$ :

$$y(0) = 0 \implies C_2 = 0$$ $$\theta(0) = 0 \implies C_1 = 0$$

7. Déformation verticale finale

En substituant $C_1 = 0$ et $C_2 = 0$ dans l'équation de la déformation verticale :

$$y(x) = -\frac{q x^4}{24 EI} - \frac{P x^3}{6 EI}$$

8. Déformation maximale

La déformation maximale se produit à l'extrémité libre ($x = L$) :

$$y(L) = -\frac{q L^4}{24 EI} - \frac{P L^3}{6 EI}$$

Résumé

Pour une poutre encastrée-libre avec une charge répartie uniforme $q$ et une charge concentrée $P$ à l'extrémité libre, la déformation verticale $y(x)$ est donnée par :

$$y(x) = -\frac{q x^4}{24 EI} - \frac{P x^3}{6 EI}$$

Et la déformation maximale à l'extrémité libre est :

$$y(L) = -\frac{q L^4}{24 EI} - \frac{P L^3}{6 EI}$$

Ces équations montrent comment le principe de superposition permet de combiner les effets de plusieurs charges pour obtenir la déformation totale de la poutre.

Bien sûr, je vais vous montrer comment additionner les moments fléchissants dus à une charge répartie uniforme $q$ et à une charge concentrée $P$ à l'extrémité libre, puis intégrer cette somme pour obtenir la déformation verticale de la poutre. Cela permettra de valider le principe de superposition.

1. Moment fléchissant dû à la charge répartie $q$

Pour une poutre encastrée-libre avec une charge répartie uniforme $q$, le moment fléchissant $M_q(x)$ à une distance $x$ de l'encastrement est donné par :

$$M_q(x) = -\frac{q x^2}{2}$$

2. Moment fléchissant dû à la charge concentrée $P$

Pour une poutre encastrée-libre avec une charge concentrée $P$ à l'extrémité libre, le moment fléchissant $M_P(x)$ à une distance $x$ de l'encastrement est donné par :

$$M_P(x) = -P x$$

3. Moment fléchissant total

En utilisant le principe de superposition, le moment total $M(x)$ est la somme des moments dus à la charge répartie et à la charge concentrée :

$$M(x) = M_q(x) + M_P(x) = -\frac{q x^2}{2} - P x$$

4. Équation différentielle de la flexion

L'équation différentielle de la flexion est :

$$EI \frac{d^2 y}{dx^2} = M(x)$$

En substituant $M(x)$ :

$$EI \frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{q x^2}{2} - P x$$

5. Première intégration

Intégrons une première fois par rapport à $x$ pour obtenir la pente $\theta(x)$ :

$$EI \frac{dy}{dx} = \int \left( -\frac{q x^2}{2} - P x \right) dx + C_1$$ $$EI \frac{dy}{dx} = -\frac{q x^3}{6} - \frac{P x^2}{2} + C_1$$

6. Deuxième intégration

Intégrons une deuxième fois par rapport à $x$ pour obtenir la déformation verticale $y(x)$ :

$$EI y(x) = \int \left( -\frac{q x^3}{6} - \frac{P x^2}{2} + C_1 \right) dx + C_2$$ $$EI y(x) = -\frac{q x^4}{24} - \frac{P x^3}{6} + C_1 x + C_2$$

7. Conditions aux limites

Pour déterminer les constantes d'intégration $C_1$ et $C_2$, nous utilisons les conditions aux limites :

• À l'encastrement ($x = 0$) : $y(0) = 0$ et $\theta(0) = 0$.

Pour $x = 0$ :

$$y(0) = 0 \implies C_2 = 0$$ $$\theta(0) = 0 \implies C_1 = 0$$

8. Déformation verticale finale

En substituant $C_1 = 0$ et $C_2 = 0$ dans l'équation de la déformation verticale :

$$y(x) = -\frac{q x^4}{24 EI} - \frac{P x^3}{6 EI}$$

9. Déformation maximale

La déformation maximale se produit à l'extrémité libre ($x = L$) :

$$y(L) = -\frac{q L^4}{24 EI} - \frac{P L^3}{6 EI}$$

Résumé

Pour une poutre encastrée-libre avec une charge répartie uniforme $q$ et une charge concentrée $P$ à l'extrémité libre, la déformation verticale $y(x)$ est donnée par :

$$y(x) = -\frac{q x^4}{24 EI} - \frac{P x^3}{6 EI}$$

Et la déformation maximale à l'extrémité libre est :

$$y(L) = -\frac{q L^4}{24 EI} - \frac{P L^3}{6 EI}$$

Ces équations montrent comment le principe de superposition permet de combiner les effets de plusieurs charges pour obtenir la déformation totale de la poutre. En additionnant les moments fléchissants dus à chaque charge et en intégrant cette somme, nous obtenons la déformation verticale totale de la poutre.