Pour résoudre l'équation $(1 / \ln(x) + 1) + (6 / \ln(x) + 5) = 1$, nous devons d'abord simplifier l'expression.

1. Réécrivons l'équation en une seule fraction :

$$\frac{1}{\ln(x) + 1} + \frac{6}{\ln(x) + 5} = 1$$

2. Trouvons un dénominateur commun pour additionner les fractions :

$$\frac{1(\ln(x) + 5) + 6(\ln(x) + 1)}{(\ln(x) + 1)(\ln(x) + 5)} = 1$$

3. Simplifions le numérateur :

$$\frac{\ln(x) + 5 + 6\ln(x) + 6}{(\ln(x) + 1)(\ln(x) + 5)} = 1$$ $$\frac{7\ln(x) + 11}{(\ln(x) + 1)(\ln(x) + 5)} = 1$$

4. Multiplions les deux côtés par le dénominateur pour éliminer la fraction :

$$7\ln(x) + 11 = (\ln(x) + 1)(\ln(x) + 5)$$

5. Développons le membre de droite :

$$7\ln(x) + 11 = \ln(x)^2 + 5\ln(x) + \ln(x) + 5$$ $$7\ln(x) + 11 = \ln(x)^2 + 6\ln(x) + 5$$

6. Réarrangeons l'équation pour obtenir une équation quadratique en $\ln(x)$ :

$$\ln(x)^2 + 6\ln(x) + 5 - 7\ln(x) - 11 = 0$$ $$\ln(x)^2 - \ln(x) - 6 = 0$$

7. Résolvons l'équation quadratique $\ln(x)^2 - \ln(x) - 6 = 0$ en utilisant la méthode de factorisation :

$$(\ln(x) - 3)(\ln(x) + 2) = 0$$

8. Les solutions de cette équation sont :

$$\ln(x) - 3 = 0 \quad \text{ou} \quad \ln(x) + 2 = 0$$ $$\ln(x) = 3 \quad \text{ou} \quad \ln(x) = -2$$

9. Résolvons pour $x$ :

$$x = e^3 \quad \text{ou} \quad x = e^{-2}$$

Donc, les solutions de l'équation sont :

$$x = e^3 \quad \text{et} \quad x = e^{-2}$$