resoudre (1 / ln(x) + 1) +(6 / ln(x) + 5) = 1
Oct 13, 8:05pm

Pour résoudre l'équation (1/ln⁡(x)+1)+(6/ln⁡(x)+5)=1(1 / \ln(x) + 1) + (6 / \ln(x) + 5) = 1(1/ln(x)+1)+(6/ln(x)+5)=1, nous devons d'abord simplifier l'expression.

1. Réécrivons l'équation en une seule fraction :

1ln⁡(x)+1+6ln⁡(x)+5=1\frac{1}{\ln(x) + 1} + \frac{6}{\ln(x) + 5} = 1 ln(x)+11​+ln(x)+56​=1

2. Trouvons un dénominateur commun pour additionner les fractions :

1(ln⁡(x)+5)+6(ln⁡(x)+1)(ln⁡(x)+1)(ln⁡(x)+5)=1\frac{1(\ln(x) + 5) + 6(\ln(x) + 1)}{(\ln(x) + 1)(\ln(x) + 5)} = 1 (ln(x)+1)(ln(x)+5)1(ln(x)+5)+6(ln(x)+1)​=1

3. Simplifions le numérateur :

ln⁡(x)+5+6ln⁡(x)+6(ln⁡(x)+1)(ln⁡(x)+5)=1\frac{\ln(x) + 5 + 6\ln(x) + 6}{(\ln(x) + 1)(\ln(x) + 5)} = 1 (ln(x)+1)(ln(x)+5)ln(x)+5+6ln(x)+6​=1
7ln⁡(x)+11(ln⁡(x)+1)(ln⁡(x)+5)=1\frac{7\ln(x) + 11}{(\ln(x) + 1)(\ln(x) + 5)} = 1 (ln(x)+1)(ln(x)+5)7ln(x)+11​=1

4. Multiplions les deux côtés par le dénominateur pour éliminer la fraction :

7ln⁡(x)+11=(ln⁡(x)+1)(ln⁡(x)+5)7\ln(x) + 11 = (\ln(x) + 1)(\ln(x) + 5) 7ln(x)+11=(ln(x)+1)(ln(x)+5)

5. Développons le membre de droite :

7ln⁡(x)+11=ln⁡(x)2+5ln⁡(x)+ln⁡(x)+57\ln(x) + 11 = \ln(x)^2 + 5\ln(x) + \ln(x) + 5 7ln(x)+11=ln(x)2+5ln(x)+ln(x)+5
7ln⁡(x)+11=ln⁡(x)2+6ln⁡(x)+57\ln(x) + 11 = \ln(x)^2 + 6\ln(x) + 5 7ln(x)+11=ln(x)2+6ln(x)+5

6. Réarrangeons l'équation pour obtenir une équation quadratique en ln⁡(x)\ln(x)ln(x) :

ln⁡(x)2+6ln⁡(x)+5−7ln⁡(x)−11=0\ln(x)^2 + 6\ln(x) + 5 - 7\ln(x) - 11 = 0 ln(x)2+6ln(x)+5−7ln(x)−11=0
ln⁡(x)2−ln⁡(x)−6=0\ln(x)^2 - \ln(x) - 6 = 0 ln(x)2−ln(x)−6=0

7. Résolvons l'équation quadratique ln⁡(x)2−ln⁡(x)−6=0\ln(x)^2 - \ln(x) - 6 = 0ln(x)2−ln(x)−6=0 en utilisant la méthode de factorisation :

(ln⁡(x)−3)(ln⁡(x)+2)=0(\ln(x) - 3)(\ln(x) + 2) = 0 (ln(x)−3)(ln(x)+2)=0

8. Les solutions de cette équation sont :

ln⁡(x)−3=0ouln⁡(x)+2=0\ln(x) - 3 = 0 \quad \text{ou} \quad \ln(x) + 2 = 0 ln(x)−3=0ouln(x)+2=0
ln⁡(x)=3ouln⁡(x)=−2\ln(x) = 3 \quad \text{ou} \quad \ln(x) = -2 ln(x)=3ouln(x)=−2

9. Résolvons pour xxx :

x=e3oux=e−2x = e^3 \quad \text{ou} \quad x = e^{-2} x=e3oux=e−2

Donc, les solutions de l'équation sont :

x=e3etx=e−2x = e^3 \quad \text{et} \quad x = e^{-2} x=e3etx=e−2
Oct 13, 8:05pm

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