メビウス変換が行列表現できる理由は、メビウス変換が線形変換であり、したがって行列を用いて表現できるからです。具体的には、メビウス変換は次の形式で表されます：

ここで、$a$、$b$、$c$、$d$ は複素数であり、$ad - bc \neq 0$ です。

この変換を行列表現するためには、ホモゲン座標を用います。ホモゲン座標では、複素数 $z$ を $\begin{pmatrix} z \\ 1 \end{pmatrix}$ と表現します。このとき、メビウス変換は次のように行列を用いて表現できます：

この結果をホモゲン座標から通常の座標に戻すためには、次のようにします：

これにより、メビウス変換が行列 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ を用いて表現できることがわかります。

まとめると、メビウス変換が行列表現できる理由は、ホモゲン座標を用いることで線形変換として扱えるためです。これにより、メビウス変換を行列を用いて簡潔に表現することができます。

はい、その通りです。ホモゲン座標は「同次座標」とも呼ばれます。同次座標は、通常の座標に追加の座標を導入することで、射影幾何や線形変換を簡単に扱うための手法です。

具体的には、2次元の複素平面上の点 $z$ を同次座標で表現すると、$\begin{pmatrix} z \\ 1 \end{pmatrix}$ となります。これにより、メビウス変換を行列を用いて表現することが可能になります。

メビウス変換

を同次座標で表現すると、次のようになります：

この結果を通常の座標に戻すためには、次のようにします：

これにより、メビウス変換が行列 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ を用いて表現できることがわかります。

同次座標を用いることで、メビウス変換を線形変換として扱うことができ、行列を用いて簡潔に表現することができます。これがメビウス変換が行列表現できる理由です。

もちろんです。同次座標（ホモゲン座標）の概念をより明確にするために、同次座標から通常の座標に戻すプロセスを示します。

同次座標 $\begin{pmatrix} z \\ 1 \end{pmatrix}$ は、通常の座標 $z$ を次のように表現します：

これは、同次座標の第1成分を第2成分で割ることで通常の座標に戻すプロセスです。

メビウス変換を同次座標で表現すると、次のようになります：

この結果を通常の座標に戻すためには、同次座標の第1成分を第2成分で割ります：

これにより、メビウス変換が行列 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ を用いて表現できることがわかります。

まとめると、同次座標を用いることで、メビウス変換を線形変換として扱い、行列を用いて簡潔に表現することができます。これがメビウス変換が行列表現できる理由です。